Özgün Adı: The Limits of Computation
Alan Mathison Turing hiç şüphesiz 20. yüzyılın en etkili isimlerinden biri. Yaptığı katkılarla birkaç bilimin kurucusu sıfatını elde etmiş, kendisinden sonraki neredeyse tüm bilimleri doğrudan veya dolaylı yoldan etkilemiş; bilim tarihinde, tabir caizse, ondan önceki her yolun kesiştiği ve ancak onun etkisiyle devam ettiği bir düğüm noktası olmuştur. Böylesine dev bir ismi doğum günü olan 23 Haziran’da başlattığımız üç günlük Turing Günleri kapsamında anmaktan mutluluk duyuyoruz. Bu bağlamda ilk olarak bugün, Turing’in belki de en çok anıldığı nosyonlardan biri olarak hesaplama kavramına dair “Hesaplamanın Sınırları” isimli metni yayınlıyoruz.
Metin günümüzdeki teknolojik gelişmenin ve bilgisayar bilimi ve yapay zeka gibi diğer araştırma sahalarının da belkemiğini oluşturan bu kavramın popüler düzeyde bir izahını sunuyor.
İkinci olarak 24 Haziran Perşembe günü ise Mark Sprevak’ın, Turing’in çalışmalarının bilişsel bilimi nasıl etkilediği sorusunu ele alan “Turing’in Zihin Modeli” isimli, aslen kitap bölümü olan yazısını yayınlayacağız. Son olarak 25 Haziran günü ise Boğaziçi Üniversitesi’nden Cem Say ile Turing’in hayatı, çalışmaları ve bilişsel bilime etkisi üzerine bir röportaj gerçekleştireceğiz.
Bununla beraber eşcinsel olması dolayısıyla dönemin İngiltere’sinde ciddi baskıya maruz kalmış, başta LGBTI+ bilim insanları olmak üzere tüm LGBTI+ için sembol isimlerden biri olan Turing’i Onur Ayı ve Onur Haftası bağlamında da andığımızı ifade edelim. Umuyoruz ki, başkalarına zarar vermeksizin arzuladığı hayatı yaşamak isteyen herkes için uygun bir gelecek bizi bekliyor.
Keyifli okumalar!
CogIST
Apostolos Syropoulos, insan beyninin bir bilgisayar olup olmadığını değerlendirmek için temellere geri dönüyor.
Tüm akli sorunların potansiyel olarak bilgisayarlar tarafından çözülebileceğini varsayan bir düşünce ekolü vardır [Örneğin, Phil Torres’in 141. Sayıdaki “The Future of Philosophy is Cyborg” başlıklı metnine bakınız]. Ancak, durum gerçekten de böyle midir? Burada, neden hesaplanabilirliğin sınırlarını bilmediğimizi ve bu bilgi eksikliğinin birçok alanda anlayışımızı nasıl etkilediğini açıklamaya çalışacağım.
Kabaca, hesaplanabilir (veya çözülebilir) bir problemin, bir küme sonlu eylemle çözülebilen herhangi bir problem olduğunu söyleyebiliriz. Alternatif olarak, hesaplanabilir bir problemin, matematiksel bir eşitliğe indirgenebilen ve buna göre çözülebilen herhangi bir şey olduğunu da söyleyebiliriz. Örnek olarak, eğer birinin birkaç şehirden geçen bir yolculuk yapması ve bu yolculuğunu her şehirden yalnızca bir kere geçecek şekilde planlaması gerekiyorsa, bu matematiksel bir problemdir. İlk başta bunun bir matematiksel problem gibi gözükmediği söylenebilir ama bunu bir matematik problemine indirgeyebililir ya da dönüştürebiliriz (topolojide). Ve eğer seyyahımızın uğraması gereken şehirlerin sayısı yeterince azsa, nispeten kolay şekilde bir hesap yapılabilir. Ama şehirlerin sayısı yeterince büyüdüğünde, belki de her şehirden yalnızca bir kere geçecek şekilde bir yol haritası çıkarmak mümkün olmayabilir.
“Hesaplanabilirliğin” kesin gibi görünen birkaç tanımı olmasına rağmen, belirsiz bir kavramdır ve kesin değildir. Yine de, “hesaplama’yı”[1] titizlikle tanımlamak için Turing Makinesi kullanılabilir. Bu (tamamen düşünsel) makine, Alman matematikçi David Hilbert’in öne sürdüğü ünlü bir problemi çözmek için bu fikri ortaya atan İngiliz matematikçi Alan Mathison Turing’in adını taşır. Özetle, Hilbert, her doğru matematiksel ifadeyi otomatik olarak türetmeyi mümkün kılmak istemişti. Diğer işlevlerinin yanı sıra, bu, belirtilen herhangi bir problemin matematiksel olarak hesaplanabilir olup olmadığına karar verebilecek, “evet” ya da “hayır” şeklinde çıktı verebilecek bir makine tasavvur ettiği anlamına geliyordu.
Hilbert’in Öklid geometrisine dair olan çalışmaları bu fikrin ortaya çıkmasından sorumlu gibi gözüküyor. Hilbert, Öklid’in elementlerindeki bazı hataları düzeltmeyi başardı ve Grundlagen der Geometrie (Geometri’nin Temelleri, 1899) adlı eserinde, güncellenmiş bir Öklid dışı bir geometri tanımladı. Geometride, herhangi bir geometrik ifadeyi ispatlamak ya da çürütmek için kullanılan birtakım aksiyomlar (reddedilemez doğrular (truth) veya temel prensipler) vardır. Ama Hilbert’e göre, geometri özelinde mümkün idiyse, o halde genel olarak matematikteki herhangi bir ifadenin ispatlanması ya da çürütülmesi için de mümkün olmalıydı. Bu olasılığı gerçekleştirmek için Hilbert, matematiksel ifadeleri bir sembol manipülasyon oyununa dönüştürmeyi denedi. Bu oyunda, ifadeler, sembol manipüle etme kuralları tarafından dönüştürülen, aksi takdirde anlamsız olacak olan sembol dizileriyle temsil edilir: örneğin, ‘aabaa ⟶ cbc’ kuralı, ‘aabaa’ sembol dizisinin ‘cbc’ ile değiştirilmesi gerektiğini belirtir. Kuralların bazılarını ya da hepsini bazı aksiyomlara — yani, başlangıçtaki sembol dizisi kümesine ya da daha yaygın bilindiği şekliyle, dizgisine (string) — uyguladıktan sonra, yeni bir dizgi çıkar. Dolayısıyla, eğer aksiyomlar Öklid geometrisinin temel doğrularını temsil ediyorsa ve manipülasyon kuralları Öklid geometrisinin yasalarıysa, o zaman yeni dizgi, aynı geometrinin içinde, yeni bir doğru ifadeyi temsil ediyor olacaktır. Ve eğer başka aksiyomlarla ve kurallarla programlarsanız, tüm matematiksel ifadeleri benzer şekilde üretebilirsiniz. Genel anlamda bu Hilbert’in rüyasıydı.
Matematiğin Sınırları
1931’de, Avusturyalı matematikçi Kurt Gödel, Hilbert’in programının imkansız olduğunu gösteren bir makale yayınladı. Gödel, Hilbert’in oyunu ile ispatlanamayacak doğru matematiksel ifadeler olduğunu matematiksel olarak ispatladı .Gödel’in ünlü “Eksiklik Teoremi” (Incompleteness Theorem) böylece Hilbert’in rüyasını yıktı.(Biçimsel (formal)ispatlar türetmek için bilgisayar sistemleri kullanıldığından ve bu teorem doğrulayıcılar oldukça kullanışlı araçlar olduğundan, Hilbert’in rüyası tamamen yıkılmış değil.) Birkaç yıl sonra, Alonzo Church ve öğrencisi Turing, Gödel’den bağımsız olarak, mantıkta kararsız problemler içeren biçimsel ifadeler olduğunu ispatladılar. Turing, prensipte herhangi bir hesaplanabilir problemi çözebilecek, düşünsel bir bilgiişlem cihazı (yani, sadece zihnimizde çalışan bir bilgisayar) tanımladı. Kabaca, Turing, bu makine çalışmayı bıraktığında, bunun neden olduğunu söylemenin neden mümkün olmayacağını ispat etti. Program yanıt vermeyi bıraktığında, hesaplanması uzun süren bir hesaplama mı yaptığını yoksa basitçe, hesaplanamaz bir problem olduğundan döngüye mi girdiğini söyleyemiyoruz. İkisi arasındaki farkın ortaya konma sorununa “durma problemi’’ deniyor. Turing, bu çözümsüzlüğün çözülemez matematiksel problemler olduğu anlamına geldiğini ispatladı. Bu aynı zamanda Hilbert’in rüyası için de yıkıcı bir etkiye sahipti.
Turing bu çalışmayı tamamladığında, hesaplamaya dair üç teorik model vardı: Church’s λ-kalkülüsü, Turing makinesi ve Gödel’in özyineleyen (recursive) fonksiyonları. Turing, hesaplama hakkındaki bu üç formülasyonunun eşdeğer olduğunu gösterdi; eğer birisi bu formülasyonlardan biriyle bir şey hesaplayabiliyorsa -bir matematik problemi çözmek gibi-, diğer iki formülasyonla da hesaplayabilir demektir. Kabaca, eğer bir şey Turing Makinesi ile (ya da λ-kalkülüsüyle ya da özyineleyen fonksiyonlarla) hesaplanamıyorsa, o zaman hesaplanamaz olduğunu söyleyen Church-Turing tezinin yaslandığı eşdeğerlilik budur. Başka bir deyişle, Church-Turing tezi, neyin hesaplanabilir olduğuna bir sınır çizer. Felsefi açıdan ilginç olan soru şudur ki; Bu matematik yapma yöntemlerinin ulaşamayacağı bir şey hesaplamak mümkün müdür? Mümkünse, nasıl?
Bir anlamda, Church-Turing tezi, Öklid’in beşinci postülatına benzer. Öklid’in beşinci postülatı kabaca şu şekilde ifade edilebilir: Bir doğru ve doğru üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, noktadan geçecek şekilde, verilen doğruya paralel tam olarak bir doğru, çizilebilir. Çoğu insan için bu öylesine apaçıktır ki reddedilemez. Başka bir deyişle, çoğu insan için, verilen doğru üzerinde olmayan noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan birden fazla doğru çizmenin bir yolu yokmuş gibi gözükür. İlginç olan şu ki bu doğru değil! Örnek olarak, bunun yerine verilen doğruyla paralel hiçbir çizginin noktadan geçemeyeceği varsayılırsa, o zaman eliptik geometri denen şeyi elde ederiz. Ve eğer ‘hiçbir doğru’ kısmını ‘sonsuz doğru’ olarak değiştirirsek, o zaman da hiperbolik geometri denen şeyi elde ederiz. Bu tam da Hilbert’in ilgilendiği şekilde Öklid’ten bir çeşit kopuştu.
Buikri geometriden bilgiişleme aktarırken, eğer biz Turing makinesinin arketipik bir hesaplama cihazı olduğunu varsayıyorsak, ve onun yerini Turing Makinesinin çözemediği problemleri hesaplayan bir cihazla değiştirirsek, o zaman açıkça Church-Turing tezi yanlış olacaktır. Fakat bu mümkün mü?
Bu soruyu cevaplamak için, Turing Makinesinin nasıl çalıştığını anlamamız gerekiyor.
Turing’le Bir Gezi
Bir Turing Makinesi (varsayımsal olarak), hücrelere bölünmüş bir şeritle birlikte hücrelerin üstünde duran ve önceki ya da sonraki hücreye hareket edebilen bir tarayıcıdan oluşur. Tarayıcı, hücrede ne olduğunu okuyabilir, hücreye bir şeyler yazabilir ve hücrede olanı silebilir. Makinenin en basit versiyonunda, makine sadece 1 ve 0 sembollerini okuyabilir ve yazabilir. Eğer hücrede 1 varsa ve tarayıcı 0 yazıyorsa, bu hücre içeriğinin silindiği anlamına gelir. Makinenin geçerli durumuna bağlı olarak -ya da diğer bir deyişle, tarayıcının hücrede hangi sembolü okuduğuna bağlı olarak- makine, söz konusu hücreye bir şeyler yazabilir, önceki ya da sonraki hücreye geçebilir ya da durabilir. Tıpkı bu belli bir problemi çözmek için programlama dili ile algoritmalar kurarken olduğu gibi, sadece bu üç seçeneği kullanarak belli bir matematiksel problemi çözmek için bir Turing makinesi oluşturulabilir. Daha da önemlisi, makinenin sonlu (finite) zamanda işlediği varsayılır, yani makinenin işini halletmesi için sonsuza dek bekleyemeyiz.
Turing makinesinin karakteristik özelliklerini genişleterek ya da değiştirerek, farklı özellikler ile yeni, kavramsal bir hesaplama cihazı üretebiliriz. Jaako Hintikka ve Arto Mutanen, aynen bu şekilde, TAE-makinesi olarak bilinen alternatif bir hesaplama cihazı tanımladılar. TAE-makinesi, muhasebe şeridi denen fazladan bir şeridi olan Turing makinesidir. Bu makineler, Turing Makinesinin hesaplamakta başarısız olduğu şeyleri hesaplayabilirler. Prensipte, TAE-makinesi, birden fazla hesaplamayı aynı anda gerçekleştirmek için kuantum fenomeni kullanan kuantum bilgisayarların bir benzeri olarak görülebilir. Fakat tüm bu farklı varsayımsal hesaplama makinelerinin ve daha pek çoğunun ortak bir yönü vardır: kendilerinin durma problemlerini çözemezler ama diğer makinelerin durma problemlerini çözebilirler. Bu, herhangi bir makinenin kendisinin altındaki makinelerin durma problemini çözebileceği bir makineler merdiveni inşa edebileceğimiz anlamına gelir; başka bir deyişle, diğer bir makinenin durma durmasına yol açan problemin hesaplanabilir olup olmadığına cevaben makinemiz “evet” ya da “hayır” diyebilir. Bir sonraki soruysa şudur: Hangi makine merdivenin en üstünde olacaktır? Zirvedeki bu makine, diğer tüm makinelerin hesaplanabilirlik sınırlarını belirleyebilecek ve hesaplanabilirliğin mutlak sınırlarını tanımlayacaktır.
Şimdiye kadar bu makinelerin çok azı gerçekten üretildi. Bazıları için inşa edilmelerini önleyecek hiçbir fiziki engel olmasa da görünüşe göre inşa edilmesi doğa yasalarınca mümkün olmayan bazı makineler de var. Jeffrey Kidder ve Joel David tarafından önerilen ve işlemlerini tamamlayabilmeleri için sonsuz zamana ihtiyaç duyan Sonsuz Zamanlı Turing Makinesi gibi.(Dış ve iç olay ufku arasında, uzayda seyahat eden bir bilgisayar, sonlu zamanda sonsuz sayıda işlem gerçekleştirebilir, yani bir süper görev gerçekleştirebilir.) Böylece, bu makine Sonsuz Zamanlı Turing Makinesi’nin gerçekleştirilmiş halidir diyebiliriz. Şu an uzay-zamana gerçekten bir makine koyup koyamayacağımızı ise bilmiyoruz.)
Merdivendeki her makine, başka bir makinenin durma problemini çözmek için belirli fizik yasalarını kullanır. Ama tabi ki, doğa yasaları hakkında her şeyi bilmekten çok uzağız, bu yüzden en tepede ne tür bir cihazın yer alacağını kesin olarak söyleyemeyiz. Peki hakkında spekülasyonda bulunabilir miyiz? Pek sayılmaz, potansiyel olarak çözülemez problemler merdiveni gerçekten sonsuz ama bizim şeyler hakkındaki bilgimiz ise oldukça sınırlı. Doğaya dair yeterince kapsamlı bir anlayışa sahip olursak eğer, o zaman bu merdiveni tırmanabiliriz ama şimdi değil.
1969’da Konrad Zuse bütün evrenin bir hücresel otomat, yani bir hesaplama cihazı olduğunu öne sürmüştü. Fakat eğer evrenin yasalarının tümünü bilmiyorsak ve sonuç olarak, nihai hesaplama cihazı hakkında hiçbir fikrimiz yoksa, nasıl evrenin bir hücresel otomat olduğunu söyleyebiliriz ki? Aynı soru insan düşüncesi için de geçerlidir. Şimdi insan beynine bir hesaplama cihazı diyebilir miyiz? Felsefede alanında mekanizmin savunucular zihnin bir makineye benzediğini varsayarlar. Amerikalı filozof John Searle’den hareketle, zihnin biyolojik bir makine olduğu ama bir Turing makinesinin yaptığı gibi sembol manipülasyon cihazı olarak işlemediği söylenebilir. Searle, insan zihnini bir sembol manipülatöründen fazlası olduğunu göstermeyi amaçlayan ‘Çince Odası’ argümanı ile ünlüdür. Kabaca, argüman, Çince bilmeyen birinin, kocaman bir kurallar kitabı ile sadece Çince sembollerini (yani, Çince sözcükler) kullanarak soruları mükemmel bir şekilde yanıtlayabileceği şeklindedir. Ancak, ortada bir anlamın gerçekleştiğinden söz edilemez; bu odadaki kişi Çinceyi anlamıyor, sembollerin ne anlama geldiğini bilmiyordur. Fakat bir zihnin normal işleyişi, ne düşündüğü üzerine olan bir anlayışı da içermektedir. Bu nedenle insan zihni, açıkça, Turing makinelerinin hesaplama kapasitesini aşar.
[1] Computation terimini metinlerimizin önemli bir kısmında işlemleme olarak çevirdik. Çeviri inisiyatifi dolayısıyla kimi metinlerde hesaplama olarak çevriliyor. İkisi esasen aynı kavrama göndermede bulunuyorlar. (E.N.)
